Một trong những tác phẩm logic sớm nhất còn tồn tại đến ngày nay là của Aristotle.[1] Logic của Aristotle được chấp nhận rộng rãi trong khoa học và toán học và vẫn còn được sử dụng rộng rãi ở phương Tây đến đầu thế kỉ 19.[2] Hệ thống logic của Aristotle phù hợp cho việc giới thiệu suy diễn giả định,[3] và logic quy nạp.[4] Ở châu Âu, trong cuối thời kỳ trung đại, có nhiều nỗ lực nhằm chứng tỏ những tư tưởng của Aristotle tương thích với niềm tin Cơ Đốc. Trong suốt thời kỳ Trung kỳ Trung cổ, logic trở thành đề tài chính của các nhà triết học, những người muốn tham gia vào những cuộc tranh luận triết học về phân tích logic học.

Logic trong triết học Hồi giáo, đặc biệt là logic của Avicennia, chịu ảnh hưởng lớn từ logic của Aristotle.[5]

Tại Ấn Độ, những đổi mới trong trường phái triết học, gọi là Nyaya, tiếp diễn từ thời cổ đại đến đầu thế kỉ 18 với trường phái Navya-Nyaya. Đến trước thế kỉ 16, nó đã phát triển những lý thuyết giống với logic hiện đại.[6]

Logic tam đoạn luận

Tác phẩm Organon là một công trình của Aristotle về logic, với Phân tích tiên nghiệm (Prior Analytics) làm nên công trình rõ ràng đầu tiên về ngành logic hình thức và giới thiệu hình thức tam đoạn luận. Các phần thuộc về tam đoạn luận, cũng còn được biết đến dưới cái tên lôgic cổ truyền hay lôgic hạng tử (term logic), là sự phân tích các phán đoán thành các mệnh đề gồm hai hạng tử liên quan với nhau bởi một trong số một số các quan hệ định trước, và biểu diễn của sự suy luận bằng tam đoạn luận bao gồm 2 mệnh đề có chung một hạng tử với vai trò giả thuyết, và một kết luận là một mệnh đề chứa hai hạng tử chưa có quan hệ với nhau trong giả thuyết.

Vào thời Cổ đại và thời Trung cổ ở châu Âu, công trình của Aristotle được xem như là hình ảnh của một hệ thống đã được phát triển đầy đủ. Đó không phải là hệ thống duy nhất: các triết gia khắc kỷ (Stoics) đã đưa ra một hệ thống logic mệnh đề đã được nghiên cứu bởi các nhà logic học thời Trung cổ; và sự hoàn hảo của hệ thống Aristotle cũng không phải là không có bàn cãi; ví dụ như vấn đề tổng quát hóa nhiều lần được nhận ra trong thời trung cổ. Tuy nhiên, những vấn đề với hệ thống tam đoạn luận không được xem là cần có những giải pháp mang tính cách mạng.

Ngày nay, một số học giả cho rằng hệ thống Aristotle nhìn chung là không có giá trị gì hơn ngoài giá trị lịch sử (mặc dù có một số quan tâm đến việc mở rộng logic hạng tử), nó được xem là đã bị lỗi thời bởi sự ra đời của lôgic mệnh đề và phép tính vị từ (predicate calculus). Những người khác sử dụng lôgic Aristotle trong lý thuyết lý luận để giúp cho việc phát triển và xem xét kỹ càng các sơ đồ lý luận sử dụng trong trí tuệ nhân tạo và trong luật pháp.

Logic vị từ

Môn Logic như được nghiên cứu ngày nay rất khác với môn học đã được nghiên cứu trước đây, và sự khác biệt chính là sự phát minh của logic vị từ. Trong khi logic tam đoạn luận của Aristote định ra những dạng thức cho những phần có liên quan với nhau trong mỗi phán đoán, logic vị từ cho phép các câu được phân tích thành chủ đề và các luận cứ theo nhiều cách khác nhau, do vậy cho phép logic vị từ giải quyết được vấn đề tổng quát hóa nhiều lần - vấn đề đã làm bối rối các nhà logic học thời trung cổ. Với logic vị từ, lần đầu tiên, các nhà logic học đã có khả năng đưa ra các phép lượng hóa (quantifiers) đủ tổng quát để diễn tả mọi luận cứ có mặt trong ngôn ngữ tự nhiên.

Sự khám phá ra logic vị từ thường được coi là công của Gottlob Frege, người cũng được xem là một trong những sáng lập viên của ngành triết học phân tích, nhưng dạng phát biểu có hệ thống thông dụng nhất ngày nay của logic vị từ là logic bậc nhất (first-order logic) được trình bày trong cuốn sách Các nguyên lý về logic lý thuyết (Grundzüge der theoretischen Logik) của David Hilbert và Wilhelm Ackermann vào năm 1928. Tính tổng quát có tính phân tích của logic vị từ cho phép hình thức hóa toán học và đẩy mạnh nghiên cứu về lý thuyết tập hợp, cho phép sự phát triển của cách tiếp cận của Alfred Tarski đối với lý thuyết mô hình; và không quá lời khi nói rằng nó là nền tảng của logic toán học hiện đại.

Hệ thống nguyên thủy của Frege về logic vị từ không phải là bậc nhất mà là bậc hai. Logic bậc hai được bảo vệ mạnh mẽ nhất bởi George Boolos và Stewart Shapiro (trước các phê phán của Willard Van Orman Quine và những người khác).

Logic mô thái

Trong ngôn ngữ, tính mô thái nói đến hiện tượng các phần của một câu có thể bị thay đổi về ngữ nghĩa bởi các động từ đặc biệt hay các tiểu từ cách thức. Ví dụ, "Chúng ta đi xem trận đấu" có thể sửa lại thành "Chúng ta nên đi xem trận đấu", và "Chúng ta có thể đi xem trận đấu"" và có thể "Chúng ta sẽ đi xem trận đấu". Một cách trừu tượng hơn, chúng ta có thể nói rằng tính mô thái ảnh hưởng đến các hoàn cảnh trong đó chúng ta muốn một khẳng định được thỏa mãn.

Các nghiên cứu về mô thái trong logic đã có từ Aristotle. Ông đã quan tâm đến mô thái của sự cần thiết và các khả năng - hai thứ mà ông thấy rằng chúng có tính đối ngẫu theo kiểu tính đối ngẫu De Morgan. Trong khi việc nghiên cứu sự cần thiết và các khả năng vẫn còn quan trọng đối với các triết gia, có rất ít đổi mới trong logic cho đến thời của những nghiên cứu quan trọng của Clarence Irving Lewis vào năm 1918. Ông đã hệ thống hóa một họ các hệ thống tiên đề cạnh tranh lẫn nhau của alethic modalities. Công trình của ông đã mở ra một hướng cho một loạt các công trình trong đề tài này, mở rộng các loại mô thái đã được xem xét để bao gồm cả logic nghĩa vụ (deontic logic) và logic tri thức (Epistemic logic). Công trình hạt giống của Arthur Prior áp dụng cùng một ngôn ngữ hình thức để xử lý logic thời gian (temporal logic). Công trình này đã mở đường cho việc kết hợp hai ngành học này. Saul Kripke khám phá ra (cùng với các đối thủ) lý thuyết của ông về khung ngữ nghĩa, nó đã cách mạng hóa các kỹ thuật hình thức hiện có cho các nhà logic học về logic hình thức và đưa và một cách nhìn mới vấn đề mô thái theo hướng lý thuyết đồ thị và đã dẫn đến nhiều ứng dụng trong các ngành ngôn ngữ tính toán và khoa học máy tính, chẳng hạn như logic động (dynamic logic).

Suy diễn và lập luận

Như đã nói ở trên, vào thời trung cổ, động cơ cho việc nghiên cứu logic là để ta có thể học cách phân biệt giữa luận cứ tốt với luận cứ không tốt, nhờ đó có thể tranh luận và diễn thuyết hiệu quả hơn, và cũng có lẽ để trở thành một người tốt hơn.

Động cơ này vẫn còn tồn tại, mặc dù nó không còn đóng vai trò trung tâm trong bức tranh toàn cảnh của logic; thông thường, logic biện chứng sẽ cấu thành trung tâm của một khóa học về tư duy phê phán (critical thinking), một khóa bắt buộc ở nhiều trường đại học, đặc biệt là các trường theo mô hình của Mỹ.

Logic toán học

Logic toán học thực sự nói về hai lãnh vực nghiên cứu khác nhau: thứ nhất là áp dụng của các kỹ thuật trong ngôn ngữ hình thức vào toán học và lập luận toán học, và thứ hai, theo một hướng khác, sự áp dụng của các kỹ thuật trong toán học vào việc biểu diễn và phân tích logic hình thức.

Những áp dụng sớm nhất của toán học và hình học trong quan hệ với logic và triết học truy ngược về những người Hy Lạp cổ đại như Euclid, Plato, và Aristotle. Nhiều triết gia cổ đại và trung cổ khác đã áp dụng các ý tưởng và phương pháp toán học vào các khẳng định triết học của họ.

Cố gắng táo bạo nhất để áp dụng logic vào toán học chắc chắn là chủ nghĩa luận lý (logicism) do các triết gia kiêm nhà logic như Gottlob Frege và Bertrand Russell đi tiên phong: ý tưởng là các lý thuyết toán học là những điều khẳng định mang tính logic, và chương trình cần chứng minh điều này bằng cách suy giản toán học về logic. Nhiều cố gắng khác nhau để tiến hành việc này đã gặp phải một loạt các thất bại, từ việc dự án của Frege trong công trình Grundgesetze bị nghịch lý Russell làm cho lụn bại, đến sự thất bại của chương trình Hilbert trước định lý Gödel về sự không toàn vẹn (của bất kì hệ thống logic nào).

Cả khẳng định của Chương trình Hilbert và sự phủ nhận nó bởi Gödel đều dựa trên các công trình của họ, thiết lập nên lãnh vực thứ hai của logic toán học, áp dụng của toán học vào logic dưới hình thức lý thuyết chứng minh. Mặc cho bản chất phủ định của các định lý về sự không toàn vẹn, định lý Gödel về sự toàn vẹn, một kết quả trong lý thuyết mô hình và một áp dụng khác của toán học vào logic, có thể được hiểu như là mộtcách cho thấy logicism đã gần đạt tới tính đúng đắn như thế nào: bất kì lý thuyết toán nào được định nghĩa chặt chẽ đều có thể được thâu tóm một cách chính xác bởi một lý thuyết logic bậc nhất; tính toán chứng minh của Frege đủđể mô tả toàn bộ toán học tuy không tương đương với nó. Do vậy chúng ta thấy được hai ngành đó hỗ trợ lẫn nhau như thế nào.

Nếu như lý thuyết chứng minh và lý thuyết mô hình đã là cơ sở của logic toán học, thì chúng chỉ là hai trong bốn trụ cột của ngành học đó. Lý thuyết tập hợp bắt nguồn trong sự nghiên cứu của Georg Cantor về sự vô hạn, và nó đã là nguồn của nhiều vấn đề quan trọng và thách thức nhất trong logic toán học, từ định lý Cantor, qua vị thế của Tiên đề của sự chọn lựa (Axiom of Choice) và câu hỏi về sự độc lập của giả thuyết về tính liên tục (continuum hypothesis), đến những tranh cãi hiện đại về những tiên đề về số đếm cực lớn (large cardinal).

Lý thuyết đệ quy thu tóm ý tưởng của việc tính toán với các toán hạng logic và số học; thành tựu cổ điển nhất của lý thuyết này là tính không quyết định được của bài toán Entscheidungsproblem mà Alan Turing đã tìm ra, và trình bày của ông về luận đề Church-Turing. Ngày nay, lý thuyết đệ quy liên quan chủ yếu đến bài toán tinh vi hơn về các lớp của độ phức tạp tính toán(complexity class) -- khi nào thì bài toán có thể giải được một cách hiệu quả? -- và sự phân loại về mức độ không giải được.

Logic triết học

Logic triết học làm việc với những miêu tả hình thức của ngôn ngữ tự nhiên. Đa số các triết giagiả sử rằng phần lớn các lập luận đúng đắn "bình thường" có thể được thu tóm bởi logic, nếu như người ta có thể tìm được phương pháp đúng đắn để dịch từ ngôn ngữ thông thường thành logic. Về bản chất, logic triết học là một sự tiếp tục của ngành khoa học truyền thống được gọi là "Logic" trước khi nó bị hất cẳng bởi sự phát minh ra logic toán học. Logic triết học có một mối quan tâm lớn hơn tới mối quan hệ giữa ngôn ngữ tự nhiên và logic. Kết quả là, các nhà logic triết học đã đóng góp rất nhiều vào sự phát triển của logic không chuẩn (v.d., logic tự do, logic thời) cũng như là các mở rộng khác của logic cổ điển (v.d., logic mô thái), và các ngữ nghĩa không chuẩn cho các loại logic như vậy (v.d., kỹ thuật Kripke về sự đánh giá trội trong ngữ nghĩa của logic).

Logic và triết học ngôn ngữ có liên hệ mật thiết với nhau. Triết học ngôn ngữ có liên quan đến nghiên cứu về tương tác giữa ngôn ngữ và suy nghĩ. Logic có một tác động lập tức trên các lãnh vực nghiên cứu đó. Nghiên cứu logic và mối liên quan giữa logic và ngôn ngữ thông thường có thể giúp một người tổ chức lý lẽ của họ một cách tốt hơn và giúp phê phán các lý lẽ của người khác. Nhiều lý lẽ thông dụng chứa đầy các lỗi bởi vì nhiều người không được huấn luyện logic và không biết cách trình bày một lý lẽ thế nào cho đúng.

Triết học ngôn ngữ đã trải qua một thời kỳ phục hưng trong thế kỉ 20 bởi công trình của Ludwig Wittgenstein.

Logic và tính toán

Logic là nội dung trung tâm của khoa học máy tính từ khi ngành này được hình thành: công trình của Alan Turing về Entscheidungsproblem theo sau từ công trình của Kurt Gödel về các định lý về sự không toàn vẹn, và khái niệm của các máy tính dành cho mục đích tổng quát bắt nguồn từ công trình này đã có tầm quan trọng mang tính nền tảng đối với các nhà thiết kế máy tính trong những năm 1940.

Trong những năm 1950 và 1960, các nhà nghiên cứu dự đoán rằng khi tri thức của con người có thể được biểu diễn bằng logic và các ký hiệu toán học, sẽ có khả năng tạo ra một máy tính có khả năng lập luận, hay nói cách khác là trí tuệ nhân tạo. Điều này hóa ra là khó khăn hơn đã dự đoán do sự phức tạp trong lập luận của con người. Trong lập trình logic, một chương trình bao gồm một tập hợp các tiên đề và các luật. Các hệ thống lập trình logic như Prolog tính toán các hệ quả của các tiên đề và luật để trả lời một truy vấn.

Ngày nay, logic được ứng dụng rộng rãi trong các lãnh vực của trí tuệ nhân tạo, và khoa học máy tính, và những ngành này cung cấp một nguồn dồi dào các bài toán trong logic hình thức và phi hình thức. Lý thuyết lý luận là một ví dụ tốt cho thấy logic được áp dụng vào trí tuệ nhân tạo như thế nào.

Thêm vào đó, máy tính có thể được sử dụng như công cụ cho các nhà logic học. Ví dụ, trong logic biểu tượng và logic toán học, các chứng minh bởi con người có thể được hỗ trợ bởi máy tính. Sử dụng chứng minh định lý tự động, máy tính có thể tìm ra và kiểm tra các chứng minh, cũng như là làm việc với những chứng minh quá dài cho việc viết ra

Lý thuyết lý luận

Lý thuyết lý luận là một ngành nghiên cứu về logic không hình thức, các điều phi lý, và các câu hỏi phê phán liên quan đến những tình huống thực tế hàng ngày. Các hội thoại cụ thể có thể được phân tích và xem xét để làm lộ ra các giả thuyết, kết luận, và các điều vô lý. Lý thuyết lý luận ngày nay được áp dụng trong trí tuệ nhân tạo và luật.